弦支穹顶的逐层找形及找力方法——李俊安

弦支穹顶结构也称为预应力网壳结构，一般由上层刚性穹顶、下层悬索体系以及竖向撑杆组成。上层穹顶结构一般为单层网壳；下层悬索体系由环索和径向索组成；索系与上层穹顶通过竖向撑杆联系起来。

目前国内圆形弦支穹顶结构的代表性工程为北京工业大学羽毛球体育馆。其上层穹顶为单层焊接球网壳，外环为三角桁架。最大跨度达93m，矢高为9.3m。上层刚性穹顶采用辐射式布置钢梁的典型工程如渝北体育馆，平面布置为三角形布置，最大跨度达83m。

 

北工大羽毛球馆	渝北体育馆

弦支穹顶设计的关键问题之一是确定合适的撑杆高度及拉索预拉力，即找形和找力。合理的形状及拉索预拉力应使给定荷载作用下，结构中各杆件的受力状态几乎全部为二力杆，结构各杆件的位移接近为零，即零态与荷载态的杆件位置重合。本文以环肋型弦支穹顶为例，在单向张弦结构的找形及找力理论基础上，给出了弦支穹顶的找形及找力方法。

一、弦支穹顶结构体系

如下图所示，弦支穹顶由顶面单层网壳、竖向撑杆及底面拉索组成。顶面单层网壳可以是环肋型、肋环斜杆型、葵花型、凯威特型等多种布置形式；下层索网由径向索和环形索组成，从平面投影看，径向索和环向索组成轮辐式索网；竖向撑杆一般采用两端铰接的圆钢管。

弦支穹顶的结构组成

弦支穹顶结构的分解方式一                           弦支穹顶结构的分解方式二

如上图所示，弦支穹顶结构可以分解为单层网壳+撑杆+轮辐式索网，按这种分解方式来分析结构受力，问题复杂，很难找出规律；弦支穹顶结构也可以按层分解为多层开口弦支穹顶结构+顶面中心单层网壳，开口弦支穹顶可看作单向张弦梁环向阵列后通过拉力环和压力环连接得到，或者由下弦轮辐拉索网和上弦轮辐式压杆网通过竖向撑杆连接得到，这样分解弦支穹顶后，结构受力的特点与单向张弦梁的受力规律很类似，结构分析将大大简化。

开口式弦支穹顶结构的分解方式一                           开口式弦支穹顶结构的分解方式二

二、单向张弦梁受力分析

（1）单向张弦结构最合理形状及索力的确定方法

单向张弦结构的找形和找力有弯矩图法和平衡荷载法两种方法，详细过程可参考“一文看懂单向张弦结构的找形和找力”。简单总结如下：

                                                                                                  （a）

                                                                                                    （b）

其中各符号的含义如下：

fx 为单向张弦梁（桁架）的腹高（厚）函数；

M(x) 为单向张弦梁对应的简支梁对应位置的弯矩图；

Nh 为下弦拉索拉力在水平方向的分力；

q(x) 为单向张弦梁（桁架）受到的分布荷载。

（2）梯形线荷载作用下单向张弦结构的找形及找力

将开口式弦支穹顶看作是张弦梁环向阵列得到的，则其中每个张弦梁所受荷载包括梯形线荷载和上层开口式弦支穹顶传来的集中荷载F（此处认为上层开口弦支穹顶对下层开口弦支穹顶仅传递竖向荷载，不传递水平荷载），对单向张弦梁进行找形和找力。如下图所示，左图为一圆形开口弦支穹顶，右图为其对应的张弦梁受力分析模型。

根据平衡荷载法，可得式（c）；根据边界条件，可得式（d）；根据支座弯矩为0，可得式（e）。

                                                                                                               （c）

                                                                                                                （d）

   （e）

式（c）为二阶常微分方程，解得矢高函数f 的通解为式（f），其中c1 和c2 为两个待定常数。

              （f）

根据式（d）和式（e）所列边界条件，可确定待定常数c1 和c2 的解为式（g）和式（h）。

                                                                                                        （g）

                                                                    （h）

 

三、平面轮辐式索网及轮辐式压杆网受力分析

轮辐式索网构成及节点受力简图

上图为轮辐式索网的受力简图及单节点受力简图，由单节点受力平衡关系，可得：

  （i）

• 环向拉索每个节点都满足节点受力平衡关系，由此可得：

  （j）

由上式的递推关系，可得：

                   （k）

其中n为环向拉索的节点数量。

由以上分析，可得如下结论：

（a）轮辐式索网能够张成的充要条件是轮辐式索网的几何关系满足式（k）。即如果不满足式（k），则此轮辐式索网结构不成立。

（b）如在每个节点角度都满足α=β ，即经向索在环向索对应节点的角平分线上，则此轮辐式索网一定能张成，且环向索的索力处处相等。

（c）轮辐式索网的形状确定后，各拉索之间的索力相对大小保持不变。

（d）轮辐式压杆网的性质同轮辐式索网，区别是拉力变成压力。

四、弦支穹顶合理形及合理索力的一些性质

每一层开口式弦支穹顶可看作是轮辐式压杆网与轮辐式拉索网通过撑杆连接而得到，也可以看成是单向张弦梁环向阵列后通过拉力环和压力环连接得到，其找形及找力具有与单向张弦梁类似的一些性质。本文不进行详细推导，仅给出结论。

（a）拉伸性质

在保障轮辐式压杆网及轮辐式索网各杆件水平分力不变、各层弦支穹顶腹高(或腹厚)不变的前提下，拉伸弦支穹顶结构，改变后的结构仍然是合理形。

弦支穹顶的拉伸性质可引申出一个折叠或类似“套娃”的性质，如下图所示，各层矢高即可以重叠，也可以部分重叠或互不重叠。

理论上会出现一种有趣现象，当弦支穹顶的层数足够多，且各层矢高重叠的时候，整个弦支穹顶的高度趋近于零，弦支穹顶的跨高比将趋近于无穷大，而此矢高趋近于零的弦支穹顶各杆件截面比常规弦支穹顶的截面反而更小。

各层开口式弦支穹顶的矢高完全重合

各层开口式弦支穹顶的矢高部分重合

各层开口式弦支穹顶的矢高完全不重合

（b）缩放性质

将腹高（或腹厚）放大或缩小k 倍，对应的水平分力缩小或放大1/K倍，将得到一组新的合理形状及初应变。

（c）叠加原理

轮辐式索网或压杆网形状确定后，再确定一组相应比例的拉力或压力，即可构成一组基底。对应此基底，若外荷载一对应的合理形状（腹高或腹厚）函数为f1 ，外荷载二对应的合理形状函数为f2 ，则外荷载一加外荷载二对应的合理形状函数为f1+f2 。

弦支穹顶的这些性质可称为线性性质，线性性质使弦支穷顶的设计变得灵活便捷。设计时只关注腹高(或腹厚)和轮辐式压杆网及轮辐式索网各杆件水平分力。刚性屋面是球形、斜坡形、椭球形或其他不规则形状都不影响其设计过程；弦支穷顶的边界是同一标高或着高低不平不规则边界上，都可以先按照同一标高设计，然后拉伸性质进行调整。得到一组或几组合理形后，可以进行缩放性质或叠加原理，快速得到更多合理形，以便进行方案比较。

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